Question

已知函數(shù)y=x-

4-x2

，求值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的值域,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出自變量的取值范圍，再設(shè)x=2cosα，（0≤α≤π），則y=2

2

cos（α+

π

4

），由α的范圍，求出cos（α+

π

4

）的范圍，問題得以解決．

解答： 解：∵4-x²≥0，∴-2≤x≤2
設(shè)x=2cosα，（0≤α≤π），
∴y=x-

4-x2

=2cosα-

4-4cos2α

=2cosα-2sinα=2

2

cos（α+

π

4

），
∵0≤α≤π，
∴

π

4

≤α+

π

4

≤

5π

4

，
∴-1≤cos（α+

π

4

）≤

2

2

∴-2

2

≤2

2

cos（α+

π

4

）≤2．
故函數(shù)y=x-

4-x2

值域[-2

2

，2]

點評：本題主要考查了函數(shù)的值域的求法，三角換元法，需要注意自變量的取值范圍，屬于中檔題．