Question

已知橢圓

x2

2

+y²=1的左焦點為F，O為坐標原點．過點F的直線l交橢圓于A、B兩點．
（1）若直線l的傾斜角α=

π

4

，求|AB|．
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線的傾斜角

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）直線方程與橢圓方程聯立，利用弦長公式，即可求得結論；
（2）利用點差法，即可求弦AB的中點M的軌跡方程；

解答： 解：（1）因為直線l的傾斜角α=

π

4

，直線l的斜率為1，方程為y=x+1，與橢圓方程聯立，可得3x²+4x=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=0，x₂=-

4

3

∴|AB|=

2

|x₁-x₂|=

4 2

3

；
（2）當直線AB的斜率存在時
設弦AB的中點M的坐標為（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依題意有

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1 x1+x2=2x y1+y2=2y y1-y2 x1-x2 = y x+1

，又

y1-y2

x1-x2

=

-x

2y

，化簡可得x²+x+2y²=0．…（7分）
當直線AB的斜率不存在時，中點為F（-1，0）也滿足上式．
綜上得：弦AB的中點M的軌跡方程為x²+x+2y²=0．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系中弦長的求法以及利用點差法求弦中點軌跡方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．