Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

4

+ax+

a

2

  
（1）若函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上的減函數(shù)，求a的值；
（2）當|x|≤2時，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a），求出g（a）的解析式．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由二次函數(shù)的性質可得f（x）在（-∞，-2a）上單調遞減，由題意有（-∞，-4）⊆（-∞，-2a），得不等式，解出a，
（2）由題意分類討論求函數(shù)f（x）的最小值，即g（a）即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

x2

4

+ax+

a

2

為二次函數(shù)，
圖象開口向上，關于直線x=-2a對稱，
在（-∞，-2a）上單調遞減，（-2a，+∞）上單調遞增，
若函數(shù)f（x）在（-∞，-4）上的減函數(shù)，則（-∞，-4）⊆（-∞，-2a），
則有-4≤-2a，解得a≤2．
（2）|x|≤2，則-2≤x≤2，
又由（1）可知，函數(shù)圖象對稱軸為x=-2a，
當-2a＜-2，即a＞1時，函數(shù)在[-2，2]上單調遞增，x=-2時，取得最小值1-

3

2

a，則此時g（a）=1-

3

2

a，
當-2≤-2a≤2，即-1≤a≤1時，函數(shù)在x=-2a處取得最小值-a²+

a

2

，此時g（a）=-a²+

a

2

，
當-2a＞2，即a＜-1時，函數(shù)在[-2，2]上單調遞減，x=2時，取得最小值1+

5

2

a，則此時g（a）=1+

5

2

a，
綜上，g（a）=

1+ 5 2 a，a＜-1 -a2+ a 2 ，-1≤a≤1 1- 3 2 a，a＞1

．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質，主要是利用性質求單調性和最值，屬于規(guī)律型題目，注意總結．