Question

已知兩曲線y=x³+ax和y=x²+bx+c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），且在點(diǎn)P處有公切線，則當(dāng) x≥

1

2

時(shí)，logb

ax2-c

x

的最小值為（　�。�

• A、-1
• B、1
• C、2
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：先由曲線y=x³+ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），求得a值，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線y=x³+ax經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）的切線方程l；再由y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2）的切線方程也是l，可求得b、c的值；最后代入logb

ax2-c

x

，利用均值定理求最小值即可

解答：解：將P（1，2）代入兩曲線y=x³+ax和y=x²+bx+c，得

a=1 b+c=1

設(shè)f（x）=x³+x，g（x）=x²+bx+c
∵f′（x）=3x²+1，∴f′（1）=4∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b
∵兩曲線在點(diǎn)P處有公切線
∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，
∴b=2，c=-1
∴logb

ax2-c

x

=log2

x2+1

x

=log2(x+

1

x

)≥log₂2=1 （當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和均值定理的運(yùn)用，解題時(shí)要抓住要害，準(zhǔn)確作答．