在△ABC中,設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB.
(I)求角C的大;
(Ⅱ)若c=
3
,求△ABC周長的取值范圍.
分析:(I)由三角函數(shù)的平方關(guān)系、余弦定理即可得出;
(II)利用正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答:解:(I)∵cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB,
∴1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sinAsinB,
∴sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB,
∴a2+b2-c2=-ab,
cosC=
a2+b2-c2
2ab
=-
1
2

又0<C<π,∴C=
3

(2)∵
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
,∴a=2sinA,b=2sinB,
則△ABC的周長L=a+b+c=2(sinA+sinB)+
3
=2(sinA+sin(
π
3
-A)
)+
3
=2sin(A+
π
3
)+
3

0<A<
π
3
,
π
3
<A+
π
3
3

3
2
<sin(A+
π
3
)≤1
,即2
3
<2sin(A+
π
3
)≤2+
3
,
∴△ABC周長的取值范圍是(2
3
,2+
3
]
點(diǎn)評:熟練掌握三角函數(shù)的平方關(guān)系、正、余弦定理、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且
cosC
cosB
=
3a-c
b
,
(1)求sinB的值;
(2)若b=4
2
,且a=c,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,設(shè)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b2-bc-2c2=0,a=
6
cosA=
7
8
,則b=( 。
A、2B、4C、3D、5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•盧灣區(qū)二模)在△ABC中,設(shè)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若b2+c2=a2+
2
bc
,且a=
2
b
,則∠C=
12
12

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且
a
cosA
=
b
cosB
,則△ABC一定是( 。

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