Question

（2013•遼寧）如圖，拋物線C₁：x²=4y，C₂：x²=-2py（p＞0），點(diǎn)M（x₀，y₀）在拋物線C₂上，過(guò)M作C₁的切線，切點(diǎn)為A，B（M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O），當(dāng)x₀=1-

2

時(shí)，切線MA的斜率為-

1

2

．
（I）求P的值；
（II）當(dāng)M在C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O）．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先表示出切線方程，再由M在拋物線上及在直線上兩個(gè)前提下，得到相應(yīng)的方程，解出p值．
（II）由題意，可先設(shè)出A，B兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)及中點(diǎn)的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程，直接求解出中點(diǎn)N的軌跡方程

解答：解：（I）因?yàn)閽佄锞�C₁：x²=4y上任意一點(diǎn)（x，y）的切線斜率為y′=

x

2

，且切線MA的斜率為-

1

2

，所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，

1

4

），故切線MA的方程為y=-

1

2

（x+1）+

1

4

因?yàn)辄c(diǎn)M（1-

2

，y₀）在切線MA及拋物線C₂上，于是
y₀=-

1

2

（2-

2

）+

1

4

=-

3-2 2

4

     ①
y₀=-

(1- 2 )2

2p

=-

3-2 2

2p

          ②
由①②解得p=2
（II）設(shè)N（x，y），A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），x₁≠x₂，由N為線段AB中點(diǎn)知x=

x1+x2

2

  ③，y=

y1+y2

2

=

x12+x22

8

    ④
切線MA，MB的方程為y=

x1

2

（x-x₁）+

x12

4

，⑤；y=

x2

2

（x-x₂）+

x22

4

⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交點(diǎn)M（x₀，y₀）的坐標(biāo)滿足x₀=

x1+x2

2

，y₀=

x1x2

4

因?yàn)辄c(diǎn)M（x₀，y₀）在C₂上，即x₀²=-4y₀，所以x₁x₂=-

x12+x22

6

⑦
由③④⑦得x²=

4

3

y，x≠0
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，A，B丙點(diǎn)重合于原點(diǎn)O，A，B中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x²=

4

3

y
因此中點(diǎn)N的軌跡方程為x²=

4

3

y

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，此類題運(yùn)算較繁，解答的關(guān)鍵是合理引入變量，建立起相應(yīng)的方程，本題探索性強(qiáng)，屬于能力型題