Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-2n（n∈N^*）•
（I）設(shè)b_n=a_n+2，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{c_n}滿足c_nlog₂b_n，求數(shù)列{

cn

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）、根據(jù)題中已知條件S_n=2a_n-2n（n∈N^*），得出n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）此兩式作差整理即可得到入b_n所滿足的關(guān)系，從而可求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)題中的條件先求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，然后求出

cn

bn

的表達(dá)式，寫(xiě)出數(shù)列{

cn

bn

}的前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式，然后利用差項(xiàng)相減法便可求出T_n的值．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．
兩式相減得a_n=2a_n-2a_n-1-2，即a_n=2a_n-1+2（n≥2）．…（3分）
又∵a₁=2，可知a_n＞0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

bn

bn-1

=

an+2

an-1+2

=

2an-1+4

an-1+2

=2（常數(shù)），
∴{b_n}是以b₁=a₁+2=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2ⁿ⁺¹．…（6分）
（Ⅱ）∵c_n=log₂b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1，
∴

cn

bn

=

n+1

2n+1

，…（8分）
則Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，…①

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，…②
兩式相減得，

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

…（10分）
=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

．
∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．