（2013•大連一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1+an•an+1-an=0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{
2n
an
}前n項(xiàng)和Sn．
分析：（I）由于各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1+an•an+1-an=0，兩邊同除以anan+1，即可得到
1
an+1
-
1
an
=1，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可得出；
（II）由（Ⅰ）知
2n
an
=n•2n．利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）∵an+1+an•an+1-an=0，∴
an+1+an•an+1-an
an•an+1
=0，
∴
1
an+1
-
1
an
=1，
1
a1
=1，
∴數(shù)列{
1
an
}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
1
an
=1+(n-1)×1=n，可得an=
1
n
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
2n
an
=n•2n．
Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．
∴Sn=(n-1)2n+1+2．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大連一模）設(shè)集合A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，則y的值為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大連一模）選修4-5：不等式選講
已知f（x）=|2x-1|+ax-5（a是常數(shù)，a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)求不等式f（x）≥0的解集．
（Ⅱ）如果函數(shù)y=f（x）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大連一模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（3）=1，f（-2）=3，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，且f′（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，若非負(fù)實(shí)數(shù)a，b滿足f（2a+b）≤1，f（-a-2b）≤3，則
b+2
a+1
的取值范圍是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大連一模）球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=1，則該球的表面積是
3π
3π
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•大連一模）設(shè)復(fù)數(shù)z=
1-i
1+i
，則z為（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案