Question

已知函數(shù)，又f′（-1）=0．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）若存在，使得|f（m₁）-f（m₂）|＞9成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵函數(shù)，
∴f′（x）=3ax²+2bx-6（a-1），
∵f′（-1）=0，
∴f′（-1）=3a-2b-6（a-1）=0．
∴b=3-．
（Ⅱ）∵，
令f′（x）=0，得x₁=-1，或，
∵，∴，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，x＜-1，或x＞，
∴f（x）在（-∞，1），（）上單調(diào)遞增，在（-1，）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，有最大值f（-1）=，
∵f（-2）=-2a-11，f（）=-，
∴．
①當(dāng)f（-2）≥f（）時(shí)，即a≥3時(shí)，
符合條件的a滿足|f（-1）-f（）|＞9，
∴||＞9，
∴，或a，
∴a≥3．
②當(dāng)f（-2）＜f（）時(shí)，即a＜3時(shí)，
符合條件的a滿足|f（-1）-f（-2）|＞9，
∴||＞9，
∴a或a＞，
∴．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．
分析：（Ⅰ）由函數(shù)，知f′（x）=3ax²+2bx-6（a-1），由f′（-1）=0，能用a表示b．
（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x₁=-1，或，由，知，故f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，）上單調(diào)遞減，當(dāng)x=-1時(shí)，有最大值f（-1）=，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．