Question

（2013•深圳一模）如圖1，⊙O的直徑AB=4，點C、D為⊙O上兩點，且∠CAB=45°，∠DAB=60°，F(xiàn)為

BC

的中點．沿直徑AB折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．
（1）求證：OF∥平面ACD；
（2）求二面角C-AD-B的余弦值；
（3）在

BD

上是否存在點G，使得FG∥平面ACD？若存在，試指出點G的位置，并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)為坐標(biāo)原點，以AB所在直線為y軸，以O(shè)C所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量

AC

與

OF

的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)表示求證OF∥AC，從而說明線面平行；
（2）根據(jù)，∠DAB=60°求出D點坐標(biāo)，然后求出平面ACD的一個法向量，找出平面ADB的一個法向量，利用兩平面法向量所成角的余弦值求解二面角C-AD-B的余弦值；
（3）假設(shè)在

BD

上存在點G，使得FG∥平面ACD，根據(jù)（1）中的結(jié)論，利用兩面平行的判定定理得到平面OFG∥平面ACD，
從而得到OG∥AD，利用共線向量基本定理得到G的坐標(biāo)（含有參數(shù)），然后由向量

OG

的模等于圓的半徑求出G點坐標(biāo)，最后利用向量

AG

與平面ACD的法向量所成角的關(guān)系求直線AG與平面ACD所成角的正弦值．

解答：（1）證明：如圖，因為∠CAB=45°，連結(jié)OC，則OC⊥AB．
以AB所在的直線為y軸，以O(shè)C所在的直線為z軸，以O(shè)為原點，作空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則A（0，-2，0），C（0，0，2）．

AC

=(0，0，2)-(0，-2，0)=(0，2，2)，
∵點F為

BC

的中點，∴點F的坐標(biāo)為(0，

2

，

2

)，

OF

=(0，

2

，

2

)．∴

OF

=

2

2

AC

，即OF∥AC．
∵OF?平面ACD，AC?平面ACD，∴OF∥平面ACD．
（2）解：∵∠DAB=60°，∴點D的坐標(biāo)D(

3

，1，0)，

AD

=(

3

，1，0)．
設(shè)二面角C-AD-B的大小為θ，

n1

=(x，y，z)為平面ACD的一個法向量．
由

n1 • AC =0 n1 • AD =0

有

(x，y，z)•(0，2，2)=0 (x，y，z)•( 3 ，1，0)=0

即

2y+2z=0 3 x+y=0.

取x=1，解得y=-

3

，z=

3

．∴

n1

=(1，-

3

，

3

)． 
取平面ADB的一個法向量

n2

=（0，0，1），
∴cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|1×0+(- 3 )×0+ 3 ×1|

7 •1

=

21

7

．
（3）設(shè)在

BD

上存在點G，使得FG∥平面ACD，∵OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，則有OG∥AD．
設(shè)

OG

=λ

AD

(λ＞0)，∵

AD

=(

3

，1，0)，∴

OG=

(

3

λ，λ，0)．
又∵|

OG

|=2，∴

( 3 λ)2+λ2+02

=2，解得λ=±1（舍去-1）．∴

OG

=(

3

，1，0)，則G為

BD

的中點．
因此，在

BD

上存在點G，使得FG∥平面ACD，且點G為

BD

的中點．
設(shè)直線AG與平面ACD所成角為α，∵

AG

=(

3

，1，0)-(0，-2，0)=(

3

，3，0)，
根據(jù)（2）的計算

n1

=(1，-

3

，

3

)為平面ACD的一個法向量，
∴sinα=cos(90°-α)=

| AG • n1 |

| AG |•| n1 |

=

| 3 ×1+3×(- 3 )+0× 3 |

2 3 × 7

=

7

7

．
因此，直線AG與平面ACD所成角的正弦值為

7

7

．

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，線面角、二面角及三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用向量方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，此題是中檔題．