Question

（本小題滿分12分）

已知，過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為.

(1)求拋物線方程；

(2)斜率為的直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于

(Ⅰ)求直線在軸上截距的取值范圍；

(Ⅱ)若分別與拋物線交于另一點(diǎn)，證明：交于一定點(diǎn).

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，因直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故有

，即，化簡(jiǎn)得

，易知

，                                 ………4分

即拋物線方程為

（2）(Ⅰ)將直線方程代入得

，由得，

又斜率為1經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線截距為，

于是直線在軸上截距的取值范圍是           ………8分

(Ⅱ)設(shè)的坐標(biāo)分別為，

則直線的斜率，

同理知直線的斜率分別為

于是由三點(diǎn)共線得，

化簡(jiǎn)得                          ①

以替換得                  ②

同理由三點(diǎn)共線得

再由及共線分別得到

                              ③

                              ④

將①②式分別代入③④式得

易知，即與交于點(diǎn).              ………12分

 

【解析】略