Question

選修4-5：不等式選講   設函數f（x）=|x+1|+|x-4|-a．
（1）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（2）若對任意的實數x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=1時，利用絕對值不等式的性質即可求得最小值；
（2）?|x+1|+|x-4|-1≥a+?a+≤4，對a進行分類討論可求a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=1時，f（x）=|x+1|+|x-4|-1≥|（x+1）-（x-4）|-1=5-1=4．
所以函數f（x）的最小值為4．
（2）對任意的實數x恒成立?|x+1|+|x-4|-1≥a+對任意的實數x恒成立?a+≤4對任意實數x恒成立．
當a＜0時，上式顯然成立；
當a＞0時，a+≥2=4，當且僅當a=即a=2時上式取等號，此時a+≤4成立．
綜上，實數a的取值范圍為（-∞，0）∪{2}．
點評：本題考查絕對值函數、基本不等式以及恒成立問題，考查分類討論思想，恒成立問題一般轉化為函數最值問題解決，．