精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=
7
,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,且DE⊥A1E.
(1)證明:平面A1DE⊥平面ACC1A1;
(2)求直線AD和平面A1DE所成角的正弦值.
分析:(1)先由正三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面ABC,?DE⊥AA1.再由DE⊥A1E?DE⊥平面ACC1A1.即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)O是AC的中點(diǎn).先建立一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,得到相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo).再利用線面角的求法在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)找到直線AD和平面A1DE所成角的正弦值即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)證明:如圖所示,由正三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)知AA1⊥平面ABC.
又DE?平面ABC,
所以DE⊥AA1
而DE⊥A1E.AA1∩A1E=A1,
所以DE⊥平面ACC1A1
又DE?平面A1DE,
故平面A1DE⊥平面ACC1A1

精英家教網(wǎng)(2)如圖所求,設(shè)O是AC的中點(diǎn),以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,
則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是
A(2,0,0),A1(2,0,
7
),D(-1,
3
,0),E(-1,0,0).
易知
A1D
=(-3,
3
,-
7
),
DE
=(0,-
3
,0),
AD
=(-3,
3
,0).
設(shè)n=(x,y,z)是平面A1DE的一個(gè)法向量,
解得x=-
7
3
z,y=0.
故可取n=(
7
,0,-3).
于是cos<?n,A>?═
-3
7
4×2
3

=-
21
8

由此即知,直線AD和平面A1DE所成角的正弦值為
21
8
點(diǎn)評(píng):本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì).在證明面面垂直時(shí),其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直
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精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為( 。
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1CC1所成的角為a,則sina=
 

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(Ⅰ)在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請(qǐng)說明理由;
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(Ⅲ)求B1到截面DEG的距離.

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精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=2,M是AC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AA1上,AN=
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(Ⅰ)求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角C1-BM-C的正切值;
(Ⅲ)證明MN⊥BC1

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(2012•馬鞍山二模)如圖,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延長線上一點(diǎn),過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M,交EF于N.
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(II)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí),求三梭臺(tái)MNF-ABC的體積.

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