Question

如圖，A(m，

3

m)和B(n，-

3

n)兩點分別在射線OS、OT上移動，且

OA

•

OB

=-

1

2

，O為坐標(biāo)原點，動點P滿足

OP

=

OA

+

OB

．
（Ⅰ）求m•n的值；
（Ⅱ）求P點的軌跡C的方程，并說明它表示怎樣的曲線？
（Ⅲ）若直線l過點E（2，0）交（Ⅱ）中曲線C于M、N兩點，且

ME

=3

EN

，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）由向量數(shù)量積

OA

•

OB

=-

1

2

的坐標(biāo)運算即可求得m•n的值；
（II）欲求P點的軌跡C的方程，設(shè)點P（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意向量關(guān)系將x，y用m，n表示，最后消去m，n得到一個關(guān)系式，即得點P的軌跡方程．
（III）設(shè)直線l的方程為x=ty+2，將其代入C的方程得到一個一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量運算即可求得t值，從而求得l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由已知得

OA

•

OB

=(m，

3

m)•(n，-

3

n)(1分)
=-2mn=-

1

2

∴m•n=

1

4

（4分）
（Ⅱ）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y）（x＞0），由

OP

=

OA

+

OB

得(x，y)=(m，

3

m)+(n，-

3

n)=(m+n，

3

(m-n))（5分）
∴

x=m+n y= 3 (m-n)

消去m，n可得x2-

y2

3

=4mn，又因mn=

1

4

（8分）
∴P點的軌跡方程為x2-

y2

3

=1(x＞0)
它表示以坐標(biāo)原點為中心，焦點在x軸上，且實軸長為2，焦距為4的雙曲線x2-

y2

3

=1的右支（9分）
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為x=ty+2，將其代入C的方程得3（ty+2）²-y²=3
即（3t²-1）y²+12ty+9=0
易知（3t²-1）≠0（否則，直線l的斜率為±

3

，它與漸近線平行，不符合題意）
又△=144t²-36（3t²-1）=36（t²+1）＞0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

-12t

3t2-1

，y1y2=

9

3t2-1

∵l與C的兩個交點M，N在y軸的右側(cè)
x₁x₂=（ty₁+2）（ty₂+2）
=t²y₁y₂+2t（y₁+y₂）+4
=t2•

9

3t2-1

+2t•

-12t

3t2-1

+4
=-

3t2+4

3t2-1

＞0
∴3t²-1＜0，即0＜t2＜

1

3

又由x₁+x₂＞0同理可得0＜t2＜

1

3

（11分）
由

ME

=3

EN

得（2-x₁，-y₁）=3（2-x₂，y₂）
∴

2-x1=3(2-x2) -y1=3y2

由y1+y2=-3y2+y2=-2y2=-

12t

3t2-1

得y2=

6t

3t2-1

由y1y2=(-3y2)y2=-3

y

2 2

=

9

3t2-1

得

y

2 2

=-

3

3t2-1

消去y₂得

36t2

(3t2-1)2

=-

3

3t2-1

解之得：t2=

1

15

，滿足0＜t2＜

1

3

（13分）
故所求直線l存在，其方程為：

15

x-y-2

5

=0或

15

x+y-2

5

=0（14分）

點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，以及求直線方程的基本技能和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．