已知命題p:f-1(x)是f(x)=1-3x的反函數(shù),且|f-1(a)|<2;命題q:集合A={x|x2+(a+2)x+1=0,x∈R},B={x|x>0},且A∩B=Ф.
(Ⅰ)解不等式|f-1(a)|<2
(Ⅱ)求使命題p,q中有且只有一個真命題時實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:本題是以命題及其關(guān)系為載體,部分考查反函數(shù)的問題,
對于(Ⅰ)首先求出f(x)=1-3x的反函數(shù)f-1(x),然后建立不等式|f-1(a)|<2即可求得a的范圍,
對于(Ⅱ)要考慮集合A=∅和集合 A≠∅兩種情況分別求出a的范圍,然后取并集可得a的范圍,
對于p,q中有且只有一個真命題要注意p真q假和p假q真兩種情況.
解答:解:(Ⅰ)由y=1-3x可得f
-1(x)=
…(2分)
又由
|f-1(a)|<2即||<2…(3分)
解得:p:-5<a<7…(4分)
(Ⅱ)當(dāng)△=(a+2)
2-4=a(a+4)<0即-4<a<0時,A=Ф,
此時A∩B=Ф…(5分)
又當(dāng)△=a(a+4)≥0即a≤-4或a≥0時A∩B=Ф
? | a≤-4或a≥0 | | | x1+x2=-(a+2)<0 | | | x1x2=1>0 | | |
| |
…(6分)
解得:a≥0
∴q:a>-4…(8分)
(1)當(dāng)
p真q假時,∴-5<a≤-4…(9分)
(2)當(dāng)
p假q真時,∴a≥7…(10分)
∴當(dāng)a∈(-5,-4]∪[7,+∞)時,p,q中有且只有一個為真命題…(12分)
點(diǎn)評:本題綜合性較強(qiáng),過程多,是易錯題,有兩點(diǎn)值得引起注意,其一滿足A∩B=∅要考慮A=∅,A≠∅兩種情況;
其二對于“p,q中有且只有一個真命題”也要注意p真q假和p假q真兩種情況.