Question

如圖，已知橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r）（b＞r＞0
（Ⅰ）寫出橢圓方程并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線y=k₁x與橢圓交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）（y₂＞0），直線y=k₂x與橢圓次于G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）（y₄＞0）．求證：；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的在C，D，G，H，設(shè)CH交x軸于P點(diǎn)，GD交x軸于Q點(diǎn)，求證：|OP|=|OQ|
（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

（Ⅰ）解：∵橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），
∴橢圓方程為
焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
離心率
（Ⅱ）證明：將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，得
整理得
根據(jù)韋達(dá)定理，得，，
所以 ①
將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程，同理可得②
由 ①、②得 =
所以結(jié)論成立
（Ⅲ）證明：設(shè)點(diǎn)P（p，0），點(diǎn)Q（q，0）
由C、P、H共線，得
解得
由D、Q、G共線，同理可得
∴
由=變形得=
所以|p|=|q|
即|OP|=|OQ|
分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心M（0，r），即可得橢圓方程，從而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)與離心率；
（Ⅱ）將直線CD的方程y=k₁x代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，可得；將直線GH的方程y=k₂x代入橢圓方程，同理可得，由此可得結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（p，0），點(diǎn)Q（q，0），由C、P、H共線，得；由D、Q、G共線，可得
，由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查不等式的證明，認(rèn)真審題，細(xì)心計算是關(guān)鍵．