Question

已知f(x)=loga(

1-x

1+x

)，（a＞0，≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，
（2）判斷f（x）在其定義域上的奇偶性，并予以證明，
（3）若a=2，求f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，從而得到函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)函數(shù)的定義域關于原點對稱，f（-x）+f（x）=0，可得f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（3）a=2時，f（x）＞0，即

1-x

1+x

＞1，即

x

x+1

＜0，由此求得f（x）＞0的解集．

解答：解：（1）∵f(x)=loga(

1-x

1+x

)，∴

1-x

1+x

＞0，解得-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的定義域為 （-1，1）．（4分）
（2）∵函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）的定義域為（-1，1），關于原點對稱．
f（-x）+f（x）=loga(

1-x

1+x

)+loga(

1+x

1-x

)=loga (

1-x

1+x

•

1+x

1-x

 )=0，
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．（10分）
（3）a=2時，f（x）＞0，即

1-x

1+x

＞1，即

x

x+1

＜0，解得-1＜x＜0，
f（x）＞0的解集為 （-1，0）．（14分）

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，對數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷，屬于中檔題．