Question

如圖，α和β為平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B在棱l上的射影分別為A′，B′，AA′=3，BB′=2．若二面角α-l-β的大小為

2π

3

，求：
（Ⅰ）點(diǎn)B到平面α的距離；
（Ⅱ）異面直線l與AB所成的角（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）先過點(diǎn)B到作平面α的垂線，交點(diǎn)為D，∠BB'C為二面角的平面角，再在直角三角形BB'D中求解BD即可；
（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)A，得到∠BAC或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，在三角形BAC中再利用余弦定理求出此角，再用反三角函數(shù)表示即可．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)B′作直線B′C∥A′A且使B′C=A′A．
過點(diǎn)B作BD⊥CB′，交CB′的延長線于D．
由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，
故l⊥平面BB′D，
得BD⊥l又因BD⊥CB′，從而BD⊥平面α，BD之長即為點(diǎn)B到平面α的距離．
因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C為二面角α-l-β的平面角．
由題意，∠BB′C=

2π

3

．
因此在Rt△BB′D中，BB′=2，∠BB′D=π-∠BB′C=

π

3

，
BD=BB′•sinBB′D=

3

．
（Ⅱ）連接AC、BC．因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，
知A′ACB′為矩形，
故AC∥l．
所以∠BAC或其補(bǔ)角為異面直線l與AB所成的角．
在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=

2π

3

，
則由余弦定理，
BC=

B′B2+B′C2-2B′B•B′C•cos∠BB′C

=

19

．
因BD⊥平面α，且DC⊥CA，由三垂線定理知AC⊥BC．
故在△ABC中，∠BCA=

π

2

，sinBAC=

BC

AB

=

19

5

．
因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin

19

5

點(diǎn)評：本題主要考查立體幾何中的主干知識，如線線角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．解題的關(guān)鍵是線面平行、三垂線定理等基礎(chǔ)知識，本題屬中等題．