Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓交于不同的兩點(diǎn),求 面積的最大值.

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，即橢圓的焦半徑，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以根據(jù)橢圓的定義求得橢圓的長(zhǎng)半軸，再根據(jù)即可求出橢圓的短半軸的值.從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）假設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式表示出弦長(zhǎng).再用點(diǎn)到直線的距離，即可得到高.再通過(guò)換元求得最值.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，有橢圓的定義可得

又

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分.

（2）設(shè)直線的方程為，

由 得，依題意，

6分

設(shè)，

則， 7分

， 8分

由點(diǎn)到直線的距離公式得， 9分

10分

設(shè)

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，

所以，面積的最大值為 12分

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.直線與橢圓的位置關(guān)系.3.點(diǎn)到直線的距離.4.最值的求法.