Question

（2012•泰安二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過點(diǎn)(

2

2

，

3

2

)．
（I）求橢圓的方程；
（II）已知點(diǎn)C（m，0）是線段OF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O為原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)），是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使|AC|=|BC|，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且過點(diǎn)(

2

2

，

3

2

)，建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（II）設(shè)過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l的方程為：y=k（x-2）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分線的方程，將C的坐標(biāo)代入，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，

a2-b2 a2 = 1 2 1 2 a2 + 3 4 b2 =1

，∴

a2=2 b2=1

，∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）設(shè)過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l的方程為：y=k（x-2）代入橢圓方程，消去y可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，則△=16k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0，∴k²＜

1

2

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，y₁+y₂=-

4k

1+2k2

∴AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（

4k2

1+2k2

，-

2k

1+2k2

）
∴AB的垂直平分線的方程為y+

2k

1+2k2

=-

1

k

（x-

4k2

1+2k2

）
將點(diǎn)C（m，0）代入可得0+

2k

1+2k2

=-

1

k

（m-

4k2

1+2k2

）
∴m=

2k2

1+2k2

∵0＜m＜2
∴0＜

2k2

1+2k2

＜2恒成立
∴存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使|AC|=|BC|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，確定橢圓的方程，求出AB的垂直平分線的方程是關(guān)鍵．