解:(1)由題意可得 a
k(x)=
•
,k=1、2、3,…n+1,
故a
1(x),a
2(x),a
3(x)的系數(shù)依次為
=1,
•
=
,
=
.
再由2×
=1+
,解得 n=8.
(2)∵F(x)=a
1(x)+2a
2(x)+2a
2(x)+3a
3(x)…+na
n(x)+(n+1)a
n+1(x)
=
+2
•(
)+3
•
+(n+1)
•
,
∴F(2)=
+2
+3
+…+(n+1)
.
設(shè)S
n=
+2
+3
+…+(n+1)
,則有S
n=(n+1)
+n
+…+3
+2
+
.
把以上2個式子相加,并利用
=
可得 2S
n=(n+2)[
+
+
+…+
]=(n+2)•2
n-1,
∴S
n=(n+2)•2
n-2.
當x∈[0,2]時,由于F′(x)>0,∴F(x)在[0,2]上是增函數(shù),故對任意x
1,x
2∈[0,2],
恒有|F(x
1)-F(x
2)|≤F(2)-F(0)=2
n-1(n+2)-1,命題得證.
分析:(1)由題意可得 a
k(x)=
•
,求得a
1(x),a
2(x),a
3(x)的系數(shù),根據(jù)前三項的系數(shù)成等差數(shù)列求得n的值.
(2)由F(x)的解析式求得 F(2)═
+2
+3
+…+(n+1)
,設(shè)S
n=
+2
+3
+…+(n+1)
,利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得S
n=(n+2)•2
n-2.再利用導數(shù)可得F(x)在[0,2]上是增函數(shù)可得對任意x
1,x
2∈[0,2],恒有|F(x
1)-F(x
2)|≤F(2)-F(0)=2
n-1(n+2)-1.
點評:本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),二項式定理的應(yīng)用,二項式系數(shù)的性質(zhì),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的
單調(diào)性求函數(shù)的值域,屬于中檔題.