Question

（2013•梅州一模）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=AD=1，E，F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF⊥平面PDC；
（2）求三棱錐B-PEC的體積；
（3）求證：AF∥平面PEC．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質定理可得AB⊥AF．，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）利用三棱錐的體積計算公式V_B-PEC=V_P-BEC=

1

3

S△BEC×PA即可得出；
（3）取PC得中點M，連接MF、ME．利用三角形的中位線定理及矩形的性質可得FM

∥

.

AE，于是四邊形AEMF是平行四邊形，可得AF∥EM，再利用線面平行的判定定理可得AF∥平面PEC．

解答：（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
由底面ABCD是矩形，∴CD⊥DA，又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AF．
∵PA=AD=1，F是PD的中點，
∴AF⊥PD，
又PD∩DC=D，∴AF⊥平面PDC．
（2）解：S△BEC=

1

2

EB×BC=

1

2

×1×1=

1

2

，
∵PA⊥平面ABCD，
V_B-PEC=V_P-BEC=

1

3

S△BEC×PA=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．
（3）取PC得中點M，連接MF、ME．
∵MF

∥

.

1

2

DC，DC

∥

.

AB，E是AB的中點，∴FM

∥

.

AE，
∴四邊形AEMF是平行四邊形，
∴AF∥EM．
又AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．

點評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質定理、線面與面面平行的判定與性質定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質、三棱錐的體積等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．