已知平面向量
a
與
b
的夾角為
π
6
，|
a
|=
3
，|
b
|=1，則|
a
-
b
|=
 
；若平行四邊形ABCD滿足
AB
=
a
+
b
，
AD
=
a
-
b
，則平行四邊形ABCD的面積為
 
．
分析：根據(jù)向量數(shù)量積的公式，算出
a
•
b
=
3
2
，進而得出（
a
-
b
）2=|
a
|2-2
a
•
b
+|
b
|2=1，可得|
a
-
b
|=
(
a
-
b
)2
=1；同理算出|
a
+
b
|=
7
，利用向量的夾角公式算出
a
+
b
與
a
-
b
夾角的余弦cos∠BAD，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關系算出sin∠BAD的值，由平行四邊形的面積公式即可算出四邊形ABCD的面積．
解答：解：∵
a
與
b
的夾角為
π
6
，|
a
|=
3
，|
b
|=1，
∴
a
•
b
=|
a
|•|
b
|cos
π
6
=
3
2
，
可得（
a
-
b
）2=|
a
|2-2
a
•
b
+|
b
|2=3-2×
3
2
+1=1，
∴|
a
-
b
|=
(
a
-
b
)2
=1；
∵（
a
+
b
）2=|
a
|2+2
a
•
b
+|
b
|2=3+2×
3
2
+1=7，
∴|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
7

設
a
+
b
、
a
-
b
的夾角為α，即∠BAD=α，
∴cosα=
(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
|
a
+
b
|•|
a
-
b
|
=
|
a
|2-|
b
|2
|
a
+
b
|•|
a
-
b
|
=
3-1
7
×1
=
2
7
7
，
∵α∈（0，π），∴sinα=
1-cos2α
=
21
7
，
因此，平行四邊形ABCD的面積為
S=
|AB|
•
|AD|
•sin∠BAD=|
a
+
b
|•|
a
-
b
|sinα=1×
7
×
21
7
=
3
．
故答案為：1，
3
點評：本題給出向量
a
與
b
的模與夾角，求|
a
-
b
|的值并依此求平行四邊形的面積．著重考查了向量數(shù)量積的公式、向量模的公式和平行四邊形的面積計算等知識，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
與
b
的夾角為60°，且滿足（
a
-
b
）•
a
=0，若|
a
|=1，則|
b
|=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
與
b
的夾角為120°，|
a
|=5，|
b
|=8，則|
a
+
b
|=
7
7
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆遼寧省五校協(xié)作體屆高三摸底考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知平面向量a與b的夾角為60°，|a|=1，|2a+b|=，則|b|=           .

 

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知平面向量
a
與
b
的夾角為60°，且滿足（
a
-
b
）•
a
=0，若|
a
|=1，則|
b
|=（　�。�
A．2B．
3
C．1D．
3
2

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