Question

【題目】選修4－4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；

（Ⅱ）設直線與曲線交于兩點，若點的直角坐標為，

試求當時， 的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的直角坐標方程為 它表示以為圓心、為半徑的圓; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）曲線： ，可以化為；可得圓；

（Ⅱ）當時，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))，利用參數(shù)的幾何意義求當， 的值.

試題解析：

（Ⅰ）曲線： ，可以化為

，

因此，曲線的直角坐標方程為

它表示以為圓心、為半徑的圓．　

（Ⅱ）法一：當時，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))

點 在直線上，且在圓內，把

代入中得

設兩個實數(shù)根為，則兩點所對應的參數(shù)為，

則，

　

法二：由（Ⅰ）知圓的標準方程為

即圓心的坐標為半徑為，點 在直線上，且在圓內

圓心到直線的距離

所以弦的長滿足