Question

設(shè)矩陣M=

.

a 0 0 b

.

（其中a＞0，b＞0）
（1）若a=2，b=3．求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（2）若曲線C：x²+y²=1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：

x2

4

+y²=1，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=

x1 y1 x2 y2

，則MM-1=

1 0 0 1

，建立方程組，即可求得所求的逆矩陣；
（2）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到點P′（x′，y′），可得

ax=x′ by=y′

，利用點P′（x′，y′）在曲線C′上，可得曲線C的方程，根據(jù)已知曲線C的方程，比較系數(shù)可得結(jié)論；

解答：解：（1）設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=

x1 y1 x2 y2

，則MM-1=

1 0 0 1

，
又M=

2 0 0 3

，
所以

2 0 0 3

 

x1 y1 x2 y2

=

1 0 0 1

，
所以2x₁=1，2y₁=0，3x₂=0，3y₂=1，
即x1=

1

2

，y₁=0，x₂=0，y2=

1

3

，
故所求的逆矩陣M^-1=

1 2 0 0 1 3

．
（Ⅱ）設(shè)曲線C上任意一點P（x，y），它在矩陣M所對應(yīng)的線性交換作用下得到點P′（x′，y′），
則

a 0 0 b

 

x   y

=

x′   y′

，即

ax=x′ by=y′

，
又點P′（x′，y′）在曲線C′上，所以

(x′)2

4

+(y′)2=1，
則

a2x2

4

+b2y2=1為曲線C的方程，
又已知曲線C的方程為x²+y²=1，故

a2=4 b2=1

，
又a＞0，b＞0，所以

a=2 b=1

．

點評：本題考查矩陣變換的應(yīng)用，考查逆矩陣的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．