Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，P是側(cè)棱CC₁上的一點(diǎn)，CP＝m．

(1)試確定m，使得直線AP與平面BDD₁B₁所成角的正切值為3；

(2)在線段A₁C₁上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)如圖，連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，AP與面BDD1B1交于點(diǎn)G，連結(jié)OG，因?yàn)镻C∥面BDD1B1，而B(niǎo)DD1B1∩面APC＝OG，故OG∥PC，所以O(shè)G＝PC＝．又AO⊥DB，AO⊥BB1，所以AO⊥面BDD1B1，故∠AGO即為AP與面BDD1B1所成的角． 　　在Rt△AOG中，tan∠AGO＝， 　　即m＝． 　　故當(dāng)m＝時(shí)，直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為3． 　　(2)依題意，要在A1C1上找一點(diǎn)Q，使得D1Q⊥AP，可推測(cè)A1C1的中點(diǎn)O1即為所求的Q點(diǎn)， 　　因?yàn)镈1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，所以D1O1⊥面ACC1A1． 　　又AP面ACC1A1，故D1O1⊥AP． 　　從而D1O1在平面AD1P上的射影與AP垂直． 　　 　　(2)若在A1C1上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則Q(x，1－x，1)，＝(x，1－x，0)． 　　依題意，對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價(jià)于D1Q⊥AP·＝0－x＋(1－x)＝0x＝． 　　即Q為A1C1的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)要求． 　　點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)及空間想象能力和推理運(yùn)算能力．考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．