Question

6．設函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-a|，g（x）=|x|．
（1）若a=2時，解不等式f（g（x））≥2；
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=2時，帶入可得f（x）=2|x-2|，不等式f（g（x））≥2；即2||x|-2|≥2；即可求解．
（2）?x∈R，f（x）≥2，即求f（x）的最小值大于等于2即可．利用可絕對值的幾何意義即可求出．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x-2|+|x-a|，g（x）=|x|．
（1）當a=2時，可得f（x）=2|x-2|，
不等式f（g（x））≥2；即2||x|-2|≥2；
∴|x|-2≥1或|x|-2≤-1，
∴x≥3或x≤-3或-1≤x≤1．
故得原不等式的解集為{x|x≥3或x≤-3或-1≤x≤1}；
（2）?x∈R，f（x）≥2，即|x-2|+|x-a|≥2．
∵f（x）=|x-2|+|x-a|表示x到2和a的距離之和．
∴f（x）的最小值|2-a|．
?x∈R，|x-2|+|x-a|≥2．即|2-a|≥2，
可得：2-a≥2或2-a≤-2，
∴a≤0或a≥4．
故得?x∈R，f（x）≥2，a的取值范圍是{a|a≤0或a≥4}．

點評 本題考查了絕對值的解法和幾何意義的運用．屬于中檔題．