Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（2x+φ），（|φ|≤

π

2

）．
①若f（x）≤f（

π

12

）對x∈R恒成立，則φ=

 

；
②在①的條件下，若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：①由f（x）≤f（

π

12

）對x∈R恒成立知f（

π

12

）=f（x）_max=2，從而

π

6

+φ=2kπ，k∈Z，進而求出答案；
②由①知f（x）=2cos（2x-

π

6

），t=2x-

π

6

，得t∈[-

π

6

，

5π

6

]，將函數(shù)的零點問題轉化為2個函數(shù)的解得問題，從而求出答案．

解答： 解：①由f（x）≤f（

π

12

）對x∈R恒成立知f（

π

12

）=f（x）_max=2，
即f（

π

12

）=2cos（

π

6

+φ）=2，
∴cos（

π

6

+φ）=1，
從而

π

6

+φ=2kπ，k∈Z，
又∵|φ|≤

π

2

，∴φ=-

π

6

；
②由①知f（x）=2cos（2x-

π

6

），
∴y=f（x）-m=2cos（2x-

π

6

）-m，
設t=2x-

π

6

，由x∈[0，

π

2

]得t∈[-

π

6

，

5π

6

]，
則函數(shù)y=2cos（2x-

π

6

）-m在區(qū)間[0，

π

2

]上有2個不同的零點
?函數(shù)y=2cost，t∈[-

π

6

，

5π

6

]與函數(shù)y=m的圖象有2個不同的交點，
∴m∈[

3

，2），
故答案為：-

π

6

；[

3

， 2)．

點評：不同考查了函數(shù)的零點問題，考查三角函數(shù)的圖象及性質，考查轉化思想，是一道中檔題．