Question

（2012年高考（大綱理））(注意:在試卷上作答無效)

函數(shù).定義數(shù)列如下:是過兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(1)證明:;

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

Answer 1

【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運(yùn)用.先從函數(shù)入手,表示直線方程,從而得到交點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明,根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng).

解:(1)為,故點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,故由所給出的兩點(diǎn),可知,直線斜率一定存在.故有

直線的直線方程為,令,可求得

 

所以

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)時,,滿足

假設(shè)時,成立,則當(dāng)時,,

由即也成立

綜上可知對任意正整數(shù)恒成立.

下面證明

由

由,故有即

綜上可知恒成立.

(2)由得到該數(shù)列的一個特征方程即,解得或

    ①     ②

兩式相除可得,而

故數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列

,故.

法二(先完成Ⅱ,用Ⅱ證Ⅰ):(Ⅱ) 的方程為,令得

(不動點(diǎn)法) 令,得函數(shù)的不動點(diǎn).

 

 

上兩式相除得.可見數(shù)列是等比數(shù)列,其中公比,首項(xiàng)為

. 即為所求.

(Ⅰ)①由上知(當(dāng)時).

②又(當(dāng)時).

③易見,數(shù)列單調(diào)遞減,所以數(shù)列單調(diào)遞增,即

.

綜合①②③得:.

【點(diǎn)評】以函數(shù)為背景,引出點(diǎn)的坐標(biāo),并通過直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到數(shù)列的遞推公式.既考查了直線方程,又考查了函數(shù)解析式,以及不等式的證明,試題比較綜合,有一定的難度.做這類試題那就是根據(jù)已知條件,一步一步的翻譯為代數(shù)式,化簡得到要找的關(guān)系式即可.