1)已知函數(shù)y=f(x)的定義域為R,且當x∈R時,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求證y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱;

(2)若函數(shù)y=log2|ax-1|的圖象的對稱軸是x=2,求非零實數(shù)a的值.

(1)設(shè)P(x0,y0)是y=f(x)圖象上任意一點,

則y0=f(x0).

又P點關(guān)于x=m的對稱點為P′,則P′的坐標為

(2m-x0,y0).由已知f(m+x)=f(m-x),得

f(2m-x0)=f(m+(m-x0))

=f(m-(m-x0))=f(x0)=y(tǒng)0.即

P′(2m-x0,y0)在y=f(x)的圖象上.

∴y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱.

(2)對定義域內(nèi)的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.

∴|a(2-x)-1|=|a(2+x)-1|恒成立,

即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.

又∵a≠0,∴2a-1=0,得 a=.

【方法技巧】函數(shù)對稱問題解題技巧

(1)證明函數(shù)圖象的對稱性,只需證明其圖象上的任意一點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖象上即可.

(2)①若f(a+x)=f(a-x),x∈R恒成立,

則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;

②若f(a+x)=-f(a-x),x∈R恒成立,

則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15.已知函數(shù)y=f(x)存在反函數(shù)y=f1(x),若函數(shù)y=f(1+x)的圖象經(jīng)過點(3,1),則函數(shù)y=f1(x)的圖象必經(jīng)過點                .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)y=f(x)同時滿足以下五個條件:

(1)f(x+1)的定義域是[-3,1];

(2)f(x)是奇函數(shù);

(3)在[-2,0)上,f′(x)>0;

(4)f(-1)=0;

(5)f(x)既有最大值又有最小值.

請畫出函數(shù)y=f(x)的一個圖象,并寫出相應(yīng)于這個圖象的函數(shù)解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:福建省09-10學(xué)年高二第二學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題文科 題型:填空題

已知函數(shù)y=f(x)在點(2,f (2))處的切線方程為y=-3x+1, 則f(2)+(2)=         

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆北京市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型:填空題

已知函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù),若f(3)-f(2)=1,則f(-2)-f(-3)=____。

 

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