6.已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,D是BC的中點(diǎn),且AD=$\sqrt{10}$,若S△ABC=4,b>c,且$\frac{b-csinA}{a}$=cosC,則B的值為( 。
A.60°B.120°C.45°D.90°

分析 由正弦定理化簡已知等式可得:sinB=sinAcosC+sinCsinA,結(jié)合三角形內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式及sinC≠0,可得sinA=cosA,進(jìn)而可求A=45°,cosC=$\frac{2b-\sqrt{2}c}{2a}$,利用三角形面積公式可求bc=8$\sqrt{2}$,利用余弦定理可得:b2+c2=24,聯(lián)立解得b,c的值,利用等腰三角形的性質(zhì)可求B的值.

解答 解:∵$\frac{b-csinA}{a}$=cosC,可得:b=acosC+csinA,
由正弦定理可得:sinB=sinAcosC+sinCsinA,
又∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,
∴sinCsinA=sinCcosA,
∵sinC≠0,
∴sinA=cosA,可得:A=45°,可得:cosC=$\frac{2b-\sqrt{2}c}{2a}$,
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=4,可得:bc=8$\sqrt{2}$,①
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,
∴可得:$\frac{2b-\sqrt{2}c}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,可得:b2+c2=24,②
∴由①②解得:$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{b=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$(b>c,故舍去),或$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=2$\sqrt{2}$=c,
∴A=C=45°,可得:B=180°-A-B=90°.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形面積公式,余弦定理,等腰三角形的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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11.已知f(x)=x2-x+1,g(x)=x+4,h(x)=$\left\{{\begin{array}{l}{f(x),f(x)≥g(x)}\\{g(x),f(x)<g(x)}\end{array}}$,若h(x)≥m恒成立,則m的最大值為( 。
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(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a,b的值并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.

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