【題目】已知橢圓 (a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點M(0,2)是橢圓的一個頂點,△F1MF2是等腰直角三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點,設兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=8,證明:直線AB過定點.
【答案】(1) ;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意求得,則橢圓的方程為;
(2)分類討論直線的斜率不存在和直線斜率存在兩種情況即可證得直線AB過定點.
試題解析:
(1)因為b=2,△F1MF2是等腰直角三角形,所以c=2,所以a=2,
故橢圓的方程為+=1.
(2)證明:①若直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=kx+m,
A點坐標為(x1,y1),B點坐標為(x2,y2),聯(lián)立方程得,
消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
則x1+x2=-,x1x2=.
由題知k1+k2=+=8,
所以+=8,即2k+(m-2)=8.
所以k-=4,整理得m=k-2.
故直線AB的方程為y=kx+k-2,即y=k-2。
所以直線AB過定點.
②若直線AB的斜率不存在,設直線AB的方程為x=x0,A(x0,y0),
B(x0,-y0),則由題知+=8,
得x0=-.此時直線AB的方程為x=-,
顯然直線AB過點.
綜上可知,直線AB過定點.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD與BDEF均為菱形,∠DAB=∠DBF=60°,且FA=FC.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BDEF;
(Ⅱ)求證:FC∥平面EAD;
(Ⅲ)求二面角A﹣FC﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=﹣ .
(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程;
(2)若C1上的點P對應的參數(shù)為t= ,Q為C2上的動點,求PQ中點M到直線C3: (α為參數(shù))距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列四個函數(shù)中,在(0,+∞)上為增函數(shù)的是( )
A.f(x)=3﹣x
B.f(x)=x2﹣3x
C.f(x)=﹣
D.f(x)=﹣|x|
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)對于一切實數(shù)x,y均有f(x+y)﹣f(y)=x(x+2y+1)成立,且f(1)=0,則當x∈(0, ),不等式f(x)+2<logax恒成立時,實數(shù)a的取值范圍是
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