Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有xf′（x）＞x²+2f（x），則不等式4f（x+2014）-（x+2014）²f（-2）＞0的解集為（　　）

• A、（-∞，-2012）
• B、（-2012，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，0）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答：解：由xf′（x）＞x²+2f（x），（x＜0），
得：x²f′（x）-2xf（x）＜x³，
∵x＜0，
∴x³＜0，
即x²f′（x）-2xf（x）＜0，
設(shè)F（x）=

f(x)

x2

，
則即[

f(x)

x2

]′=

x2f(x)-2xf(x)

x4

＜0，
則當(dāng)x＜0時(shí)，得F'（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴F（x+2014）=

f(x+2014)

(x+2014)2

，F(xiàn)（-2）=

f(-2)

(-2)2

=

f(-2)

4

，
即不等式4f（x+2014）-（x+2014）²f（-2）＞0等價(jià)為F（x+2014）-F（-2）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是減函數(shù)，
∴由F（x+2014）＞F（-2）得，x+2014＜-2，
即x＜-2016，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．