Question

21、如圖，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于點E，F(xiàn)為CE上一點，且DE²=EF•EC；
（1）求證：∠P=∠EDF；
（2）求證：CE•EB=EF•EP．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的乘積式和乘積式所用的線段的夾角相等，得到兩個三角形相似，由三角形相似得到對應(yīng)角相等，根據(jù)兩條直線平行，得到內(nèi)錯角相等，根據(jù)等量代換得到結(jié)果．
（2）根據(jù)第一問做出的結(jié)果，和對頂角相等得到兩個三角形相似，根據(jù)三角形相似得到對應(yīng)邊成比例，直接把比例式轉(zhuǎn)化為乘積式，再根據(jù)圓的兩條相交弦定理，得到乘積式，等量代換得到結(jié)果．

解答：證明：（1）∵DE²=EF•EC，
∴△EDF～△ECD，
∴∠EDF=∠C，
∵CD∥AP
∴∠C=∠P，
∴∠P=∠EDF
（2）∵∠P=∠EDF；
∠DEF=∠AEP，
∴△EDF～△EPA
∴EF•EP=DE•AE
AD，CB是圓的兩條相交弦，
∴DE•AE=CE•BE
∴CE•EB=EF•EP．

點評：本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，考查兩條直線平行的性質(zhì)，考查相交弦定理，考查等量代換，是一個比較簡單的綜合題目．