Question

設數列滿足，令.

⑴試判斷數列是否為等差數列？并求數列的通項公式；

⑵令，是否存在實數，使得不等式對一切

都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

    ⑶比較與的大小．

Answer 1

解析： ⑴由已知得,

即,                              …………2分

所以,即,                     

又,所以數列為等差數列，通項公式為.    …………6分

(2)令，由，得

 

所以，數列為單調遞減數列，                                 …………8分

所以數列的最大項為，

若不等式對一切都成立，只需，解得，

又，所以的取值范圍為．              …………12分

（3）問題可轉化為比較與的大小．設函數，所以．

當時，；當時，．所以在上為增函數；

在上為減函數．

當時，顯然有，

當時，，即，所以，

即所以．

綜上：當時，，即；

當時，即．                …………16分