Question

12．經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X（單位：t，100≤X≤150）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．
（I）將T表示為X的函數(shù)；
（II）根據(jù)直方圖求利潤T不少于57 000元的頻率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值 （例如：若需求量X∈[100，110），則取X=105），估計T的平均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意先分段寫出，當(dāng)x∈[100，130）和x∈[130，150）時的利潤值，利用分段函數(shù)寫出即可；
（Ⅱ）由（I）知，利潤T不少于57000元，當(dāng)且僅當(dāng)120≤x≤150，再由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，由此估計得出結(jié)論；
（Ⅲ）利用利潤T的數(shù)學(xué)期望=各組的區(qū)間中點(diǎn)值×該區(qū)間的頻率之和計算即可．

解答 解：（I）由題意得，當(dāng)X∈[100，130）時，
T=500X-300（130-X）=800X-39000，
當(dāng)X∈[130，150]時，T=500×130=65000，
∴T=$\left\{\begin{array}{l}{800X-3900，X∈[100，130）}\\{65000，X∈[130，150]}\end{array}\right.$．
（II）由（I）知，利潤T不少于57000元，
當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150．
由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，
所以下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7；
（Ⅲ）以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值，依題意可得T的分布列如圖，

T	45000	53000	61000	65000
p	0.1	0.2	0.3	0.4

所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．
估計T的平均值為59400元．

點(diǎn)評 本題考查用樣本的頻率分布估計總體分布及識圖的能力，求解的重點(diǎn)是對題設(shè)條件及直方圖的理解，了解直方圖中每個小矩形的面積的意義，是中檔題．