Question

根據長沙市建設大河西的規(guī)劃，市旅游局擬在咸嘉湖建立西湖生態(tài)文化公園。如圖，設計方案中利用湖中半島上建一條長為的觀光帶AB，同時建一條連接觀光帶和湖岸的長為2的觀光游廊BC，且BC與湖岸MN（湖岸可看作是直線）的夾角為60°，BA與BC的夾角為150°，并在湖岸上的D處建一個觀光亭，設CD＝xkm(1＜x＜4)。
（Ⅰ）用x分別表示tan∠BDC和tan∠ADM；
（Ⅱ）試確定觀光亭D的位置，使得在觀光亭D處觀賞觀光帶AB的視覺效果最佳。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ）

（Ⅰ）設湖岸線為l，過點A、B分別作的垂線，垂足為E、F，延長AB交于點G。

因為BC＝2，∠BCF＝60°，則，，
因為CD＝x＞1，則DF＝CD－CF＝x－1，
所以。                                   （3分）
因為∠ABC＝150°，則∠CBG＝30°，又∠BCF＝60°，
則∠BGC＝30°，所以。
因為AB＝，則AG＝AB＋BG＝，
所以AE＝AGsin30°＝，GE＝AGcos30°＝6。
又GC＝BC＝2，則CE＝GE－GC＝4，因為CD＝x＜4，則DE＝CE－CD＝4－x，
所以。                                  （7分）
（Ⅱ）設∠ADB＝θ，則

()。                                            （9分）
令x＋2＝t，則。
因為，則，當且僅當，即時取等號.所以當，即時，tanθ取最大值。
又θ為銳角，則當時θ取最大值。                                 （12分）
故當觀光亭D建在距離C點時，在D處觀賞觀光帶AB的視覺效果最佳。（13分）