Question

（2007•威海一模）已知a₁，a₂，…，a₈是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，對于1≤k＜8的整數(shù)k，數(shù)列b₁，b₂，…，b₈由b_n=

an+k，1≤n≤8-k an+k-8， 8-k＜n≤8

確定．記C=

8

n=1

anbn．
（I）求k=3時(shí)C的值（求出具體的數(shù)值）；
（Ⅱ）求C最小時(shí)k的值．

Answer 1

分析：（I）利用已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n，當(dāng)k=3時(shí)，可得bn=

an+3，1≤n≤5 an-5，5＜n≤8.

進(jìn)而得到C=

8

n=1

anbn=

5

n=1

anan+3+

8

n=6

anan-5即可得出．
（II）利用bn=

an+k，1≤n≤8-k an+k-8，8-k＜n≤8.

即可得出C的表達(dá)式，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（I）顯然an=2n-1(1≤n≤8)．
∴k=3，∴bn=

an+3，1≤n≤5 an-5，5＜n≤8.

∴C=

8

n=1

anbn=

5

n=1

anan+3+

8

n=6

anan-5=

5

n=1

22n+1+

8

n=6

22n-6
=（2³+2⁵+2⁷+2⁹+2¹¹）+（2⁵+2⁷+2⁹）
=3400．
（II）∵bn=

an+k，1≤n≤8-k an+k-8，8-k＜n≤8.

∴C=

8

n=1

anbn=

8-k

n=1

anan+k+

8

n=0-k

anan+k-8=

8-k

n=1

22n+k-2+

8

n=9-k

22n+k-10，
=

2k(48-k-1)

4-1

+

28-k(4k-1)

4-1

=

1

3

(216-k-2k+28+k-28-k)
=

1

3

(212-24)(24-k+2k-4)≥

2

3

(212-24)

24-k•2k-4

=2720．
∴當(dāng)且僅當(dāng)2^4-k=2^k-4時(shí)，C的值最小，此時(shí)解得k=4．

點(diǎn)評：正確理解分段函數(shù)的意義、求和符號、基本不等式的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．