如圖所示,在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中,AD∥BC,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.

(1)求證:BD⊥PC;
(2)求直線AB與平面PDC所成的角;
(3)設(shè)點(diǎn)E在棱PC上,,若DE∥平面PAB,求λ的值.

(1)見解析  (2)60°  (3)

解析(1)證明:由題意知,AB⊥AD,AD=1,AB=,
∴BD=2,BC=4,
∴DC=2,
則BC2=DB2+DC2,
∴BD⊥DC,
∵PD⊥平面ABCD,
∴BD⊥PD,
而PD∩CD=D,
∴BD⊥平面PDC.
∵PC在平面PDC內(nèi),
∴BD⊥PC.
解:(2)如圖所示,過D作DF∥AB交BC于F,過點(diǎn)F作FG⊥CD交CD于G.

∵PD⊥平面ABCD,
∴平面PDC⊥平面ABCD,
∴FG⊥平面PDC,
∴∠FDG為直線AB與平面PDC所成的角.
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,DF=,CF=3,
∴tan∠FDG=,
∴∠FDG=60°.
∴直線AB與平面PDC所成角為60°.
(3)連接EF,

∵DF∥AB,
∴DF∥平面PAB.
∵DE∥平面PAB,
∴平面DEF∥平面PAB,
∴EF∥AB,如圖所示,
∵AD=1,BC=4,BF=1,
==,
=,
即λ=.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)已知四棱錐P—GBCD中(如圖),PG⊥平面GBCD,GD∥BC,GD=BC,且BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中點(diǎn),PG=4
(Ⅰ)求異面直線GE與PC所成角的余弦值;
(Ⅱ)若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn),且,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在三棱柱中,側(cè)面為菱形, 且,的中點(diǎn).

(1)求證:平面平面;
(2)求證:∥平面

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,底面是矩形, 平面,,于點(diǎn)

(1) 求證:;
(2) 求直線與平面所成的角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分別是棱BC、AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2.

(1)求證:C1E∥平面ADF;
(2)設(shè)點(diǎn)M在棱BB1上,當(dāng)BM為何值時,平面CAM⊥平面ADF?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=AC,D、E、F分別為線段AC、A1A、C1B的中點(diǎn).

(1)證明:EF∥平面ABC;
(2)證明:C1E⊥平面BDE.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在空間四邊形ABCD中,已知AC⊥BD,AD⊥BC,求證:AB⊥CD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在幾何體ABCDE中,ABAD=2,ABADAE⊥平面ABD,M為線段BD的中點(diǎn),MCAE,且AEMC.

(1)求證:平面BCD⊥平面CDE;
(2)若N為線段DE的中點(diǎn),求證:平面AMN∥平面BEC.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案