Question

已知函數f（x）=log_kx（k為常數，k＞0且k≠1），且數列{f（a_n）}是首項為4，公差為2的等差數列．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）若b_n=a_n•f（a_n），當k=

2

時，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式可求得f（a_n）=2n+2，繼而可得a_n=k²ⁿ⁺²，易證

an+1

an

=k²（k＞0且k≠1，）從而可證數列{a_n}是等比數列；
（2）當k=

2

時，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺²，于是S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①，2S_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³，②利用錯位相減法即可求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：（1）證明：由題意知f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，
即log_ka_n=2n+2，
∴a_n=k²ⁿ⁺²，
∴

an+1

an

=

k2(n+1)+2

k2n+2

=k²，
∵常數k＞0且k≠1，
∴k²為非零常數，
∴數列{a_n}是以k⁴為首項，k²為公比的等比數列．      
（2）由（1）知，b_n=a_nf（a_n）=k²ⁿ⁺²•（2n+2），
當k=

2

時，b_n=（2n+2）•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺²．
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①
2S_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³，②
②-①，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³
=-2³-（2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²）+（n+1）•2ⁿ⁺³，
∴S_n=-2³-

23(1-2n)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺³=n•2ⁿ⁺³．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的通項公式與等比關系的確定，突出考查錯位相減法求和，屬于中檔題．