已知函數(shù)

   （I）求函數(shù)上的最小值；

   （II）求證：對一切，都有

【解】（I）f ′（x）＝lnx＋1，當x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）單調(diào)遞減，

       當x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）單調(diào)遞增．               ……2分

       ①0＜t＜t＋2＜，t無解；

       ②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時，f （x）min＝f （）＝－；

       ③≤t＜t＋2，即t≥時，f （x）在［t，t＋2］上單調(diào)遞增，f （x）min＝f （t）＝tlnt；

       所以f （x）min＝．                                           ……6分

       （II）問題等價于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞）），

       由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當且僅當x＝時取到．

       設m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m ′（x）＝，易得m （x）max＝m （1）＝－，當且僅當x＝1時取到，

                       從而對一切x∈（0，＋∞），都有l(wèi)nx＞－．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知函數(shù) （I）求曲線處的切線方程；   （Ⅱ）求證函數(shù)在區(qū)間[0，1]上存在唯一的極值點，并用二分法求函數(shù)取得極值時相應x的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數(shù)據(jù)e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3）

   （III）當試求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)

   （I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

   （II）若函數(shù)的取值范圍；

   （III）當

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

(本小題滿分12分)已知函數(shù)

（I）求函數(shù)的最小正周期;    （II）求函數(shù)取得最大值的所有組成的集合.

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年安徽省百校論壇高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)
（I）求f（x）最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（II）若上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年重慶市高三上學期第七次測試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)

   （I）求f(x)在[0，1]上的極值；

   （II）若對任意成立，求實數(shù)a的取值范圍；

   （III）若關(guān)于x的方程在[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍.

 

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