Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)．若△ABF₁為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  13

• B．

  7

• C．

  5

• D．

  2

Answer 1

分析：如圖所示，|BF₂|-|BF₁|=2a，|AF₁|-|AF₂|=2a，又|AB|=|AF₁|=|BF₁|，可得|BF₂|-|AF₂|=4a=|AB|．于是|BF₁|=4a，|BF₂|=6a．在△BF₁F₂中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1| |BF2|cos60°，代入化簡(jiǎn)即可得出．

解答：解：如圖所示，|BF₂|-|BF₁|=2a，|AF₁|-|AF₂|=2a，∵△ABF₁為等邊三角形，∴|AB|=|AF₁|=|BF₁|，∴|BF₂|-|AF₂|=4a=|AB|．
∴|BF₁|=4a，|BF₂|=6a．
在△BF₁F₂中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1| |BF2|cos60°，
∴(2c)2=(4a)2+(6a)2-2×4a×6a×

1

2

，化為c²=7a²．
∴e=

c

a

=

7

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的定義、余弦定理、等邊三角形的性質(zhì)、離心率的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，屬于中檔題．