Question

已知正項數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，且滿足S_n+a_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)cn=

1

an

，則是否存在數(shù)列{b_n}，滿足b1c1+b2c2+…+bncn=(2n-1)2n+1+2對一切正整數(shù)n都成立？若存在，請求出數(shù)列{b_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時，由條件S_n+a_n=1求出首項，當(dāng)n≥2時，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，兩式相減得到2a_n=a_n-1，可得數(shù)列是
公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）因為cn=

1

an

，所以cn=2n，若存在滿足題意的數(shù)列{b_n}，則b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1=(2n-3)2n+2(n≥2)，兩式相減，得到b_n=2n+1（n≥2）．
經(jīng)檢驗，首項也滿足，從而求得通項公式．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時，S₁+a₁=1，故a1=

1

2

．---------（2分）
當(dāng)n≥2時，S_n+a_n=1，S_n-1+a_n-1=1，兩式相減得到2a_n=a_n-1，所以數(shù)列{a_n}為首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
所以an=(

1

2

)n．------（7分）
（2）因為cn=

1

an

，所以cn=2n，若存在滿足題意的數(shù)列{b_n}，
則b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1=(2n-3)2n+2(n≥2)，
兩式相減，得到b_n=2n+1（n≥2）．------（12分）
由b₁•c₁=6，得到b₁=3，滿足上式．所以，存在滿足題意的數(shù)列{b_n}，
通項公式為bn=2n+1(n∈N*)．-------（14分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．