Question

若x₀是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，同時(shí)也是其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的極值點(diǎn)，則稱x₀是函數(shù)y=f（x）的“致點(diǎn)”．
（Ⅰ）已知a＞0，求函數(shù)f（x）=（x²+ax+1）e^x的極值和單調(diào)區(qū)間；，
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=（x²+ax+1）e^x是否有“致點(diǎn)”？若有，求出“致點(diǎn)”；若沒有，試說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），分別解出f′（x）＞0與f′（x）＜0即可得出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)新定義，令g（x）=f′（x），假設(shè)假設(shè)f（x）有“致點(diǎn)”為x₀，求出“致點(diǎn)”，再根據(jù)函數(shù)極值求需要a≠0，分別得出a=0，相矛盾，故函數(shù)f（x）無“致點(diǎn)”．

解答： 解  （Ⅰ）f′（x）=（x²+ax+1）e^x+（2x+a）e^x=）=（x²+ax+1+2x+a）e^x=（x+a+1）（x+1）e^x，
∵a＞0，
∴-a-1＜-1．
∴當(dāng)x∈（-∞，-a-1）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-a-1，-1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
所以，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-a-1）和∈（-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-a-1，-1），
且當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極小值（2-a）e^-1，當(dāng)x=-a-1時(shí)，f（x）有極大值（a+2）e^-a-1，．
（2）由（1）知，f′（x）=（x+a+1）（x+1）e^x，
令g（x）=f′（x），
則g′（x）=[x²+（a+4）x+2a+3]e^x，
假設(shè)f（x）有“致點(diǎn)”為x₀，
則x₀首先應(yīng)是f（x）的極值點(diǎn)，即f′（x₀）=0，∴x₀=-1或x₀=-a-1
當(dāng)a=0時(shí)，-a-1=-1，此時(shí)f′（x₀）≥0恒成立，f（x）無極值．
∴要使f（x）有極值，須a≠0                                                     
若x₀=-1，則由題意可知g′（-1）=0，∴1-（a+4）+2a+3=0解得：a=0與a≠0矛盾，即-1不是f（x）的“致點(diǎn)”，
若x₀=-a-1，則由題意可知g′（-a-1）=0，∴（a+1）-（a+4）（a+1）+2a+3=0解得：a=0與a≠0矛盾，即-a-1不是f（x）的“致點(diǎn)”，
∴函數(shù)f（x）無“致點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的取值范圍等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題．