已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式，數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1，an+1=f（an）（n∈N+）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求證：Sn＜數(shù)學(xué)公式．

解：（1）依題意可知an+1=f（an）=；
由于a1=1不為0，所以an+1=f（an）都不為0，
上式兩邊同取倒數(shù)得到：
=；
∴=3+； 即：-=3
∴{}為等差數(shù)列首項(xiàng)為1，公差為3
∴=1+（n-1）×3=3n-2
∴an=
（2）證明：由（1）可知an=
∴anan+1==（-）
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=（1-++…-）=（1-）＜
原式得證．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式把a(bǔ)n代入求得數(shù)列的遞推式，兩邊取倒數(shù)整理可得-=3進(jìn)而判斷出{}為等差數(shù)列首項(xiàng)為1，公差為3，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an．
（2）把（1）中求得的an代入Sn進(jìn)而利用裂項(xiàng)法求得數(shù)列的和，進(jìn)而根據(jù)（1-）＜證明原式．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=
π
6
對(duì)稱(chēng)，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時(shí)f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線(xiàn)l與直線(xiàn)3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對(duì)于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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