Question

【題目】已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定義h（x）=max{f（x），g（x）}= ．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若g（x）=lnx，試討論函數(shù)h（x）（x＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，

∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）

令f'（x）=0，得x1=0或 ，∵a＞0，∴x1＜x2，

列表如下：

x	（﹣∞，0）	0
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的極大值為f（0）=1，極小值為

（2）解：g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），

∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，

即不等式 在x∈[1，2]上有解，

設(shè) ，∵ 對(duì)x∈[1，2]恒成立，

∴ 在x∈[1，2]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=1時(shí)， 的最大值為4，

∴2a≤4，即a≤2

（3）解：由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值為 ，

①當(dāng) ，即a＞2時(shí)，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上無(wú)零點(diǎn)

②當(dāng) ，即a=2時(shí)，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，

∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)

③當(dāng) ，即0＜a＜2時(shí)，設(shè)φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），

∵ ，∴φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

又 ，∴存在唯一的 ，使得φ（x0）=0．

Ⅰ．當(dāng)0＜x≤x0時(shí)，

∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）為減函數(shù)，

又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一個(gè)零點(diǎn)；

Ⅱ．當(dāng)x＞x0時(shí)，

∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）為增函數(shù)，

∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)；

從而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=2時(shí)，h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＞2時(shí)，h（x）有無(wú)零點(diǎn)

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式 在x∈[1，2]上有解，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（3）通過(guò)討論a的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．