【題目】已知函數(shù).

（1）證明：當(dāng)時(shí)，有最小值，無(wú)最大值；

（2）若在區(qū)間上方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)，求，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間，極小值，即可證明結(jié)論；

（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，令，求與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的范圍，通過求導(dǎo)求出在單調(diào)區(qū)間，作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.

（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)恒成立，

當(dāng)，單調(diào)遞增，，

所以存在的，使得，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，

當(dāng)時(shí)，，

所以有最小值，無(wú)最大值；

（2）方程恰有一實(shí)根，

恰有一實(shí)根，

與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

，

令或，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，即極大值為，

極小值為，

做出在上的圖象，如下圖所示，

又與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄A與軸相切于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作動(dòng)圓異于軸的兩切線，設(shè)兩切線相交于，點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過的直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，若曲線上存在點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求的值：

（Ⅱ）若函數(shù)是內(nèi)的減函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若方程無(wú)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>時(shí)，值域也為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，如圖1所示，在十字形滑槽上各有一個(gè)活動(dòng)滑標(biāo)，，有一根旋桿將兩個(gè)滑標(biāo)連成一體，，為旋桿上的一點(diǎn)，且在，兩點(diǎn)之間，且，當(dāng)滑標(biāo)在滑槽內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，滑標(biāo)在滑槽內(nèi)隨之運(yùn)動(dòng)時(shí)，將筆尖放置于處可畫出橢圓，記該橢圓為.如圖2所示，設(shè)與交于點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為拋物線過焦點(diǎn)的弦，已知以為直徑的圓與相切于點(diǎn).

（1）求的值及圓的方程；

（2）設(shè)為上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐中，底面，，，，.

（1）當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)到平面的距離是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；

（2）當(dāng)直線與平面所成的角為45°時(shí)，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為滿足人們的閱讀需求，圖書館設(shè)立了無(wú)人值守的自助閱讀區(qū)，提倡人們?cè)陂喿x后將圖書分類放回相應(yīng)區(qū)域.現(xiàn)隨機(jī)抽取了某閱讀區(qū)500本圖書的分類歸還情況，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：本）.

文學(xué)類專欄

科普類專欄

其他類專欄

文學(xué)類圖書

100

40

10

科普類圖書

30

200

30

其他圖書

20

10

60

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)文學(xué)類圖書分類正確的概率；

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)圖書分類錯(cuò)誤的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從某公司生產(chǎn)線生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取1000件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，由檢測(cè)結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）求這1000件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)和樣本方差 （同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.

（i）利用該正態(tài)分布，求；

（ⅱ）已知每件該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為10元，每件合格品（質(zhì)量指標(biāo)值）的定價(jià)為16元；若為次品（質(zhì)量指標(biāo)值），除了全額退款外且每件次品還須賠付客戶48元.若該公司賣出10件這種產(chǎn)品，記表示這件產(chǎn)品的利潤(rùn)，求.

附：，若，則.

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