Question

（1）．已知函數y=x+（x＞-2），求此函數的最小值．
（2）已知x＜，求y=4x-1+的最大值；
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20，求xy的最大值；
（4）已知x，y∈R⁺且x+2y=1，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：當題中遇到形如a+的結構或ab與a+b的互化問題時基本不等式是解決問題較好的方法，所以本題可以嘗試用基本不等式解題．
（1）函數可化為：y=x+=（x+2）+-2
（2）函數可化為：y=4x-1+=（4x-5）++4（需注意x＜時，4x-5＜0所以要變號）
（3）20=5x+7y≥，則xy≤=
（4）因為x，y∈R⁺且x+2y=1，所以=（）（x+2y）=3++≥2+3=
解答：解：（1）函數y=x+=（x+2）+-2≥=6，
當且僅當x+2=時等號成立，即x=2時取最小值為6（x＞-2）
（2）））∵x＜∴4x-5＜0
∴y=4x-1+=（4x-5）++4
=-[-（4x-5）-]+4≤-2+4=2
當且僅當4x-5=時等號成立，即x=1時取最大值為2．
（3）已知x＞0，y＞0，且5x+7y=20∴20=5x+7y≥；∴xy≤=
當且僅當5x=7y時等號成立，即x=2，y=時取最大值為
（4）=（）（x+2y）=3++≥2+3=（），
當且僅當=時等號成立，即時取最大值為．
點評：基本不等式a+b≥2；，（a＞0，b＞0）是不等式問題中考查的重點之一，在用基本不等式求最值時要注意以下幾點：
1、正：即a＞0，b＞0，2、定：即a+b或ab是定值，3、等：即當且僅當a=b時等號成立，能取到最值．