Question

已知f（x）是偶函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，若f（ax+1）≤f（x-2）（|a|≥1）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先利用偶函數(shù)的定義把f（ax+1）≤f（x-2）?f（|ax+1|）≤f（|x-2|），再利用其單調(diào)性轉(zhuǎn)化為|ax+1|≤|x-2|；對其兩邊平方整理后利用分類討論的方法分別求出實數(shù)a的取值范圍最后綜合即可．

解答：解：因為f（x）是偶函數(shù)，故有f（x）=f（-x）=f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[

1

2

，1]上恒成立?f（|ax+1|）≤f（|x-2|）在x∈[

1

2

，1]上恒成立 ①；
又因為在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故①式轉(zhuǎn)化為|ax+1|≤|x-2|在x∈[

1

2

，1]上恒成立?（a²-1）x²+2（a+2）x-3≤0  ②在x∈[

1

2

，1]上恒成立．
a=1時，②轉(zhuǎn)化為2x-1≤0?x≤

1

2

不符合，舍去；
a=-1時，②轉(zhuǎn)化為2x-3≤0?x≤

3

2

成立；
|a|＞1時，得a²-1＞0，②轉(zhuǎn)化為

(a2-1)×( 1 2 )2 +2(a+2)× 1 2 -3≤0 (a2-1)×1+2(a+2)-3≤0

，

-5≤a≤1 -2≤a≤0

?-2≤a≤0且a≠-1．
∵|a|≥1
綜上得：實數(shù)a的取值范圍為[-2，-1]．
故答案為[-2，-1]．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．在偶函數(shù)的定義應(yīng)用中，因為其在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，所以在作題過程中，一般是利用f（x）=f（-x）=f（|x|）把變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)．