【題目】在四棱錐
中，
，
，
，
，
，
，則三棱錐
外接球的表面積為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
作出圖形，取
的兩個三等分點
、
，連接
、
、
，設
，連接
、
，推導出為
的外心，計算出
、、設
為三棱錐
外接球的球心，連接
、
、
，過作
，垂足為
，并設三棱錐的外接球半徑為
，設
，通過幾何關系列等式求出的值，利用球體的表面積公式可求得結果.
如圖，取的兩個三等分點、，連接、、，
設，連接、.
則
，
，又
，
，
所以，四邊形
為平行四邊形，
，
為的中點，
所以，
，
由勾股定理可得
，則
，
在
中，
，
，
，
，又
，則
為等邊三角形，
，則是的外接圓的圓心.
因為
，
為的中點，
，
，
，
，
，
，
，又
，
，
平面
，
且
.
設為三棱錐外接球的球心，連接、、，過作，垂足為，
則外接球的半徑滿足
，
設，則
，解得
，
從而
，故三棱錐外接球的表面積為
.
故選：D.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
為平行四邊形，
，
分別為
，
的中點.
（1）求證：
平面
.
（2）在線段
上是否存在一點
使得
，，，四點共面？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某森林公園內有一條寬為100米的筆直的河道（假設河道足夠長），現擬在河道內圍出一塊直角三角形區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚.三角形區(qū)域記為
，
到河兩岸距離
，
相等，
，
分別在兩岸上，
.為方便游客觀賞，擬圍繞區(qū)域在水面搭建景觀橋.為了使橋的總長度
（即的周長）最短，工程師設計了以下兩種方案：
方案1：設
，求出關于
的函數解析式
，并求出的最小值.
方案2：設
米，求出關于
的函數解析式
，并求出的最小值.
請從以上兩種方案中自選一種解答.（注：如果選用了兩種解答方案，則按第一種解答計分）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新型冠狀病毒（SARS-COV-2）是2019年在人體中發(fā)現的冠狀病毒新毒株，主要通過呼吸道飛沫進行傳播，鑒于其特殊的傳播途徑，某科學醫(yī)療機構發(fā)現一次性醫(yī)用口罩起著一定的防護作用一般，口罩在投入市場前需做一系列的檢測，其中罩體污點、鼻梁條缺陷、耳繩異常等常規(guī)瑕疵肉眼可見，而耳繩尤為關鍵，會出現耳繩缺失、錯位、錯熔、漏熔四種情況 .現在生產商大多采用全自動生產線生產口罩，某工廠現有甲（1臺本體機拖2臺耳帶機）和乙（1臺本體機拖3臺耳帶機）兩條生產線，已知甲生產線的日產量為7萬只，乙生產線的日產量為10萬只，生產商為了了解是否有必要更換原有的甲生產線，在設備生產狀況相同，不計其他影響的狀態(tài)下，分別統計了兩條生產線生產的1000只口罩的耳繩情況，得到的統計數據如下：
耳繩情況 | 合格 | 缺失 | 錯位 | 錯熔 | 漏熔 |
甲生產線 | 950 | 9 | 19 | 11 | 11 |
乙生產線 | 900 | 19 | 35 | 25 | 21 |
（1）從乙生產線生產的1000只口罩中隨機抽取3只，將合格品的只數記為
，求的分布列和數學期望；
（2）假設口罩的生產成本為0.4元/只，若耳繩發(fā)生缺陷時可通過人工修復至合格來挽回損失。耳繩缺失、漏熔時人工修復費為0.01元/只；錯位與錯熔時需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復費為0.02元/只．
①以修復費的平均數作為判斷依據，判斷哪一條生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用較少？
②若經一次檢驗就合格的口罩，生產商以1元/只的批發(fā)價銷售給市場，經人工修復的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據分析該生產商是否有必要更換甲生產線？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】新型冠狀病毒（SARS-COV-2）是2019年在人體中發(fā)現的冠狀病毒新毒株，主要通過呼吸道飛沫進行傳播，鑒于其特殊的傳播途徑，某科學醫(yī)療機構發(fā)現一次性醫(yī)用口罩起著一定的防護作用一般，口罩在投入市場前需做一系列的檢測，其中罩體污點、鼻梁條缺陷、耳繩異常等常規(guī)瑕疵肉眼可見，而耳繩尤為關鍵，會出現耳繩缺失、錯位、錯熔、漏熔四種情況 .現在生產商大多采用全自動生產線生產口罩，某工廠現有甲（1臺本體機拖2臺耳帶機）和乙（1臺本體機拖3臺耳帶機）兩條生產線，已知甲生產線的日產量為7萬只，乙生產線的日產量為10萬只，生產商為了了解是否有必要更換原有的甲生產線，在設備生產狀況相同，不計其他影響的狀態(tài)下，分別統計了兩條生產線生產的1000只口罩的耳繩情況，得到的統計數據如下：
耳繩情況 | 合格 | 缺失 | 錯位 | 錯熔 | 漏熔 |
甲生產線 | 950 | 9 | 19 | 11 | 11 |
乙生產線 | 900 | 19 | 35 | 25 | 21 |
（1）從乙生產線生產的1000只口罩中隨機抽取3只，將合格品的只數記為
，求的分布列和數學期望；
（2）假設口罩的生產成本為0.4元/只，若耳繩發(fā)生缺陷時可通過人工修復至合格來挽回損失。耳繩缺失、漏熔時人工修復費為0.01元/只；錯位與錯熔時需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復費為0.02元/只．
①以修復費的平均數作為判斷依據，判斷哪一條生產線在每日生產過程中挽回損失時所需費用較少？
②若經一次檢驗就合格的口罩，生產商以1元/只的批發(fā)價銷售給市場，經人工修復的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據分析該生產商是否有必要更換甲生產線？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
：
，
：
，動圓C與圓，都相切，則動圓C的圓心軌跡E的方程為________________；斜率為
的直線l與曲線E僅有三個公共點，依次為P，Q，R，則
的值為________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD為正三角形．且PA=2
．
（1）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（2）若點P到底面ABCD的距離為2，E是線段PD上一點，且PB∥平面ACE，求四面體A-CDE的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，右準線為
.點
是橢圓
上異于長軸端點的任意一點，連接
并延長交橢圓于點
，線段
的中點為
，
為坐標原點，且直線
與右準線
交于點
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
，求點的坐標；
（3）試確定直線
與橢圓的公共點的個數，并說明理由.
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